\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\date{31. Oktober 2005}
\author{Ulrich~\textsc{Bruchholz}\footnote{Dipl.-Ing.
\textsl{Ulrich Bruchholz},~http://www.bruchholz-acoustics.de}}
\title{Was~ist~Geometrische~Feldtheorie~?}

\begin{document}
\sloppypar
\maketitle

Das heutige physikalische Denken wird beherrscht von der Vorstellung
von ``Materie'' in Raum und Zeit, welche alle Vorg\"ange um uns
bestimme. Dabei kann niemand sagen, was Materie sei, und die Physik
betrachtet es als ihre Aufgabe, dies zu ergr\"unden.

Die seit langem bekannte Wirkung auf einen K\"orper ist eine Kraft
bei beschleunigter Bewegung einerseits und durch Gravitation andererseits.
Mit dem Begriff der Masse hat Isaac \textsc{Newton} ein Ma\ss{} gefunden,
das nur vom K\"orper selbst abh\"angt. Dabei \emph{erscheint} es so, als
ob es zwei qualitativ unterschiedliche Massen g\"abe, n\"amlich eine
tr\"age und eine schwere Masse.

\textsc{Newton} hat abkl\"aren k\"onnen, dass jede Masse ein
Gravitationsfeld um sich aufbaut, das in seiner Wirkung um den
Faktor $ 1/r^2 $ mit der Entfernung abnimmt. \textsc{Newton}
hat dazu auch experimentell den Proportionalit\"atsfaktor, die
Gravitationskonstante, bestimmt. Als Arbeitshypothese diente dabei
die Annahme, dass Raum und Zeit f\"ur ewig vorgegeben und von
der darin befindlichen Materie unabh\"angige Gr\"o\ss{}en seien.
Das bedeutet eine Fernwirkung, denn der eine K\"orper wirkt mit
seiner Masse \"uber die Gravitation unmittelbar auf den anderen
K\"orper mit dessen Masse. Im t\"aglichen Leben ist der dominierende
K\"orper die Erde mit ihrem Gravitationsfeld. - \mbox{\textsc{Newton}}
selbst war jedoch nie gl\"ucklich mit der Arbeitshypothese und der daraus
resultierenden Fernwirkung. Die Tr\"agheit bleibt dabei r\"atselhaft.
\mbox{\textsc{Newton}} konnte nur zur Kenntnis nehmen, dass die zweite
Ableitung des vom K\"orper zur\"uckgelegten Weges nach der Zeit
der bestimmende Faktor ist.

Einen gro\ss{}en Schritt in der Erkenntnis brachte die Erkundung
des Elektromagnetismus. \textsc{Faraday} beschrieb die elektrischen
und magnetischen Felder mit von ihm so genannten Kraftlinien.
Diese wirken nur von einem Punkt bis zum benachbarten Punkt, von
diesem wieder bis zum n\"achsten und so fort sowohl im Raum als
auch in der Zeit. Diese Wirkung erfolgt nicht sprunghaft, sondern
von Punkt zu Punkt gibt es nur entsprechend geringe \"Anderungen.
Die berechtigte Frage nach den Punktabst\"anden kann dahingehend
beantwortet werden, dass diese \emph{beliebig} klein gew\"ahlt
werden. Man spricht dann vom Kontinuum, und die Wirkung ist
eine \emph{Nahewirkung}~.

Eine wesentliche Konsequenz aus der Nahewirkung ist die Vorhersage
der elektromagnetischen Wellen durch \textsc{Maxwell}, die zuerst
Heinrich \textsc{Hertz} experimentell nachgewiesen hat. Dazu
geh\"ort auch das Licht, so dass die Ausbreitung der
elektromagnetischen Wellen mit Lichtgeschwindigkeit erfolgt.

Jetzt begann die Suche nach dem angenommenen Medium, in dem sich
die elektromagnetischen Wellen ausbreiten sollen. Dabei irritierte
besonders die v\"ollige Unabh\"angigkeit der Lichtgeschwindigkeit
von der Relativbewegung des Beobachters zur Lichtquelle. Aber es gibt
auch keine Abh\"angigkeit von einer absoluten Bewegung (z.B. der
Erde beim Umlauf um die Sonne), wie der bekannte
\textsc{Michelson}-Versuch zeigte. Damit war die Existenz eines
solchen Mediums, auch als \"Ather bekannt, \"uberhaupt in Frage gestellt.

Diese \emph{scheinbaren} Unstimmigkeiten bewogen Albert \textsc{Einstein},
sich mit Relativbewegungen zu befassen. - In der Mechanik gibt es so
genannte Inertialsysteme (Tr\"agheitssysteme), die sich geradlinig
und unbeschleunigt bewegen. Das Verhalten von K\"orpern ist auf allen
Inertialsystemen das gleiche. Das funktioniert nicht in der
Elektrodynamik. Bewegte Ladung induziert auf ein ruhendes System ein
Magnetfeld, und ein bewegter Magnet ein elektrisches Feld.
\textsc{Lorentz} entwarf Transformationsformeln f\"ur die
Inertialsysteme, welche die konstante Lichtgeschwindigkeit
ber\"ucksichtigen sollen. Dabei werden Zeit und L\"ange im
bewegten System f\"ur den ruhenden Beobachter ver\"andert.
Der bewegte K\"orper erscheint in Bewegungsrichtung k\"urzer,
und die Uhren gehen auf diesem langsamer.

\textsc{Einstein} erkannte nun, dass die \textsc{Lorentz}-
Transformationen die \emph{wirkliche} Ver\"anderung der Ma\ss{}st\"abe
und Uhren bei Relativbewegung wiedergeben. Damit hat jeder seine
eigene Zeit. Zeit und Raum sind nichts absolutes, sondern \"uber
die \textsc{Lorentz}-Transformationen miteinander verkn\"upft.
Mit dieser Interpretation gilt das Relativit\"atsprinzip f\"ur
Inertialsysteme nicht nur in der Mechanik, sondern auch in der
Elektrodynamik. Die Induktionsgesetze werden so Teil von
Transformationsbeziehungen der elektrischen und magnetischen
Felder, welche auf diese Weise vereinigt werden.

Mit der Vorgabe der konstanten Lichtgeschwindigkeit allein wirken
die \textsc{Lorentz}-Transformationen noch recht willk\"urlich.
Den entscheidenden Verst\"andnissprung verdanken wir Hermann
\textsc{Minkowski} mit seiner geometrischen Interpretation der
Zeit. \textsc{Minkowski} nahm die Zeit als vierte Koordinate
(zu den drei r\"aumlichen), indem er setzte $ x_4 = \mathsf{j} c t $
mit $ \mathsf{j}^2 = -1 $~. Die Zeit ist demnach imagin\"are L\"ange,
oder eine L\"ange imagin\"are Zeit. Da wir in der Zeit leben, wird
ein Streckenelement in der so gebildeten Raumzeit zeitartig, d.h.
mit der reellen Zeit 
$ \mathsf{d} s^2~=~(c \mathsf{d} t)^2~-~\mathsf{d} x^2~-~\mathsf{d} y^2
~-~\mathsf{d} z^2~>~0 $~. F\"ur das Licht gilt jedoch
$ \mathsf{d} s~=~0 $~.\\
Diese geometrische Interpretation der Zeit erh\"alt ihre Berechtigung
dadurch, dass mit den \textsc{Lorentz}-Transformationen die Zeit
selbst zur Koordinate wird. Die elektromagnetischen Wellengleichungen
sind daf\"ur sichtbares Zeugnis. Die \textsc{Lorentz}-Transformationen
selbst werden in der Raumzeit eine einfache Drehung der Zeitkoordinate
und der x-Koordinate (bei Bewegung in x-Richtung) um einen
\emph{imagin\"aren} Winkel $ \psi $. Die Relativgeschwindigkeit ist dann
der Tangens dieses Winkels $ v = \mathsf{j} c \mathsf{tan} \psi $~.
Die Mathematik ergibt daraus das Additionstheorem der Geschwindigkeiten
inclusive der Tatsache, dass ein K\"orper niemals die Lichtgeschwindigkeit
erreichen kann.\\
{\footnotesize
\textsc{Minkowski} hat versucht, diese Sachverhalte auf dem Papier,
d.h. die Zeit als reelle L\"ange, darzustellen. Dazu soll unter dem
Stichwort ``\textsc{Minkowski}-Kegel'' auf die einschl\"agige Literatur
verwiesen werden. Diese Analogie hat ihre Grenzen, jedoch lassen sich
das so genannte Zwillingsparadoxon und \"ahnliche Dinge damit recht
gut begreifen. S.a. [1].\\}
\normalsize \\

Was sind Felder~? - \textsc{Einstein} hat diese Frage f\"ur die
Gravitation \"uber den Umweg des \"Aquivalenzprinzips beantworten
k\"onnen :

Die \emph{Spezielle Relativit\"at}, d.h. die Bewegungsrelativit\"at
in Inertialsystemen (die auch f\"ur Elektromagnetismus gilt), hat
\textsc{Einstein} \"uber die \textsc{Lorentz}-Transformationen
identifiziert. So kam \textsc{Einstein} folgerichtig auf die Suche
nach einer \emph{allgemeinen} Bewegungsrelativit\"at. Das ist
gleichbedeutend mit der Frage nach der Relativit\"at beschleunigter
Bezugssysteme.

In beschleunigten Bezugssystemen stellen wir fest, dass eine Kraft
auf einen massigen K\"orper wirkt. Die gleiche Kraftwirkung gibt es
auch im Gravitationsfeld. Wenn der Beobachter nicht \emph{wei\ss},
woher die Kraft kommt, kann er es auch nicht bemerken. Daher
ergibt sich aus der Frage nach der allgemeinen Relativit\"at
eine neue Frage nach den Urspr\"ungen der zwei Kraftwirkungen.
Die \"Aquivalenz von tr\"ager und von schwerer Masse erhob
\textsc{Einstein} zum Prinzip, dem \emph{\"Aquivalenzprinzip}.

Jetzt hilft wieder die Geometrie weiter. -\\
Jeder K\"orper beschreibt in \textsc{Minkowski}s vierdimensionaler
Raumzeit \mbox{eine} Kurve. F\"ur den unbewegten K\"orper ist diese
Kurve mit der Zeitachse identisch, bei unbeschleunigter Bewegung
eine zur Zeitachse geneigte Gerade, wie in der speziellen
Relativit\"at ausgef\"uhrt. Bei Beschleunigung ergibt sich eine
gekr\"ummte Kurve. Der wichtigste Parameter einer Kurve ist
deren Kr\"ummungsvektor. (Der Kr\"ummungsvektor ist die totale
Ableitung des Tangentenvektors.) Ein Vergleich der physikalischen
Parameter mit dem Kr\"ummungsvektor ergibt Bemerkenswertes:
\textsc{Newton}s Kraftgleichung $ \mathcal{F}~=~m~(\frac{\partial^2 \mathcal{X}}
{\partial t^2}~+~\mathcal{G}) $ besteht aus den zwei \"aquivalenten Teilen.
Die zweite Ableitung des Weges nach der Zeit ist die beschleunigte
Bewegung, w\"ahrend $ \mathcal{G} $ summarisch die Gravitationsfeldst\"arke
zum Ausdruck bringt. Der Kr\"ummungsvektor enth\"alt die zweite
Ableitung des Ortsvektors nach der Strecke auf der Kurve, welche
die Eigenzeit des beschleunigten K\"orpers bedeutet und somit in
erster N\"aherung mit der Zeit des Beobachters identisch ist.
Aus dem physikalischen
Sachverhalt folgt zwingend, dass der Kr\"ummungsvektor noch einen
zweiten Anteil haben \emph{mu\ss}. Das ist genau dann der Fall, wenn
die Raumzeit selbst gekr\"ummt ist~! Jegliche Kr\"ummungen der
Raumzeit gehen in die Kurvenparameter ein.\\
Die Kurve in der Raumzeit f\"ur \emph{kraftfreie} Bewegung ist
damit eine Geod\"ate, denn f\"ur diese verschwindet der
Kr\"ummungsvektor. Die Gleichung der Geod\"ate $ \mathcal{K}~=~0 $
ist physikalisch eine Bewegungsgleichung.

Die Kr\"ummung der vierdimensionalen Raumzeit (nicht des
dreidimensionalen Raums allein~!) l\"a\ss{}t sich verstehen
analog zur Kr\"ummung einer Fl\"ache, wie wir sie aus dem t\"aglichen
Leben kennen. Diese Verallgemeinerung der Geometrie geht auf Bernhard
\textsc{Riemann} zur\"uck.\\
Das Streckenelement auf einer gekr\"ummten Fl\"ache ergibt sich mit
beliebigen Koordinaten auf der Fl\"ache aus $ \mathsf{d} s^2~=~
g_{11} (\mathsf{d} x_1)^2~+~ 2g_{12} \mathsf{d} x_1 \mathsf{d} x_2
~+~g_{22} (\mathsf{d} x_2)^2 $~. Die allgemeine Beziehung f\"ur beliebig
viele Dimensionen lautet dann $ \mathsf{d} s^2~=~\sum_{\mu,\nu} g_{\mu\nu}
\mathsf{d} x_{\mu} \mathsf{d} x_{\nu} $ mit $ g_{\nu\mu} = g_{\mu\nu} $~.

Die Koeffizienten $ g_{\mu\nu} $ bilden einen symmetrischen Tensor,
welcher die Metrik der Mannigfaltigkeit komplett wiedergibt.
Mit der Metrik l\"a\ss{}t sich jeder Abstand in der Mannigfaltigkeit
bestimmen. Die Metrik h\"angt jedoch wesentlich von den
gew\"ahlten Koordinaten ab, und ist somit kein Ma\ss{} f\"ur die
Kr\"ummung der Fl\"ache respective der Raumzeit. (Die Kr\"ummung
geht jedoch in die Metrik ein~!)\\ \textsc{Gauss}
fand heraus, dass die Eigenschaften einer Fl\"ache an jedem Punkt
der Fl\"ache durch eine einzige Gr\"o\ss{}e beschrieben werden~!
Diese \textsc{Gauss}sche Kr\"ummung ist das Produkt aus maximaler
und minimaler \emph{vertikaler} Kr\"ummung.\\
{\footnotesize
Die weiter oben beschriebenen Kr\"ummungen sind
horizontale Kr\"ummungen, d.h. \emph{in} der Fl\"ache bzw. Raumzeit.
Eine Geod\"ate kann vertikal gekr\"ummt sein. So wird klar, warum
sich ein Blatt Papier beliebig rollen l\"a\ss{}t. Die \textsc{Gauss}sche
Kr\"ummung bleibt dort immer Null~!\\}
\normalsize 
\textsc{Riemann} hatte die geniale Erkenntnis, dass
sich die Eigenschaften einer \textit{n}-dimensionalen Mannigfaltigkeit
aus den \textsc{Gauss}schen Kr\"ummungen von in dieser befindlichen
$ n (n - 1)/2 $ gegenseitig orthogonalen Fl\"achen ausdr\"ucken
lassen. In der Raumzeit sind das 6 Fl\"achen, n\"amlich die 3
bekannten r\"aumlichen Fl\"achen und 3 Fl\"achen, die von der
Zeit und je einer r\"aumlichen Koordinate aufgespannt werden.\\
{\footnotesize
O.g. \textsc{Gauss}sche Kr\"ummungen werden jetzt
durch Parallelverschiebungen von Vektoren abgel\"ost, auf die
sich der Tensor-Kalk\"ul anwenden l\"a\ss{}t. Tensoren sind in
ihrer Gesamtheit invariante Gr\"o\ss{}en. Die Tensorkomponenten
gen\"ugen allgemeing\"ultigen Transformationsgesetzen.\\
Diese Mathematik wurde von einer Mathematikerschule unter \textsc{Ricci},
\textsc{Levi-Civit\'a} und anderen zu \textsc{Einstein}s Zeiten
begr\"undet. \textsc{Einstein} war der erste Anwender.\\}
\normalsize
Diese Kr\"ummungsma\ss{}e sind \emph{nicht} mit der
Gravitation identisch~! Dagegen besteht der enge Zusammenhang
dieser Kr\"ummungen \emph{und damit} der Metrik mit den Kurvenparametern.

Aus dem Zusammenhang zwischen Gravitation und Kr\"ummung der
Raumzeit folgt, dass sich allgemeine Relativit\"at nur \emph{lokal}
definieren l\"a\ss{}t, d.h. in unmittelbarer Umgebung eines
Raumzeitpunktes. Dort k\"onnen wir \textsc{Euklid}ische
Verh\"altnisse ansetzen. Da aber die Metrik bei Gravitation eine
andere ist als ohne Gravitation, verhalten sich die lokalen
Ma\ss{}st\"abe und Uhren anders als au\ss{}erhalb des Gravitationsfeldes.
Die Uhren ticken f\"ur den \"au\ss{}eren Beobachter langsamer,
und die Ma\ss{}st\"abe werden l\"anger. Das bedeutet f\"ur den
\"au\ss{}eren Beobachter eine geringere Lichtgeschwindigkeit
im Gravitationsfeld, was zu \textsc{Einstein}s ber\"uhmter
Vorhersage der Beugung von Lichtstrahlen im Gravitationsfeld
f\"uhrte. Die \emph{lokale} Lichtgeschwindigkeit ist jedoch
konstant $ c $~!

Es sollte noch erw\"ahnt werden, dass das Gravitationsfeld selbst
keine Energie enth\"alt. Voneinander entfernte Beobachter k\"onnen
jedoch infolge Unterschiede in der Metrik verschiedene
Energiezust\"ande einunddesselben Systems wahrnehmen. Gravitation
\"ubertr\"agt somit keine Energie, sondern vermittelt diese.
\\

Mit der Allgemeinen Relativit\"atstheorie haben wir die
paradoxe Situation, dass die Gravitation aus der Geometrie
der Raumzeit abgeleitet wird, w\"ahrend die Massen als
Gravitation ``erzeugend'' angesehen werden, und deren Struktur
ungekl\"art bleibt. Dieses Paradoxon kann nur im Zusammenhang
mit weiteren bis dahin ungekl\"arten Fragen gesehen werden:\\
~- Was ist Elektromagnetismus~?\\
~- Wie ist das mit der Quantisierung~?\\
Die Quantisierung physikalischer Gr\"o\ss{}en ist eine
Erfahrungstatsache, welche sich auch dadurch manifestiert,
dass statistische Methoden mit Erfolg angewendet wurden.
Es ist anzunehmen, dass die drei ungekl\"arten Fragen nur
im Zusammenhang zu l\"osen sind.
\\

Vern\"unftige Antworten auf Fragen an die Natur darf man nur
erhoffen, wenn diese Fragen unvoreingenommen sind. Das bedeutet,
es d\"urfen keine Antworten erwartet oder gar vorgegeben werden.
Im Zusammenhang mit den drei ungel\"osten Fragen erscheinen
folg. konkrete Fragestellungen sinnvoll:\\
~1) Welche Gr\"o\ss{}en werden erhalten~?\\
~2) Welche Gr\"o\ss{}en haben diskrete Werte~?\\
Erhalten werden die ``materiellen'' Gr\"o\ss{}en Masse, Drehimpuls,
elektrische Ladung und magnetisches Moment. Wegen der aus der
speziellen Relativit\"at folgenden \"Aquivalenz von Masse und
Energie folgt die Energieerhaltung auch aus der Erhaltung der
Masse. Die Mathematik gibt nun die \"uberraschende Antwort,
wann diese Gr\"o\ss{}en diskrete Werte annehmen: \emph{als
Integrationskonstanten quellenfreier partieller
Differentialgleichungen~!}\\
{\footnotesize
Das ist zum Beispiel bei Vorliegen eines
Randes der Fall, wobei allerdings nicht der klassische Rand
der Potentialtheorie erwartet werden darf. Die konkreten
Verh\"altnisse lassen sich z.B. mittels numerischer Simulation
feststellen.\\}
\normalsize
Masse und Drehimpuls sind die ersten Integrationskonstanten
von \textsc{Einstein}s Gravitationsgleichungen, und
Ladung und magnetisches Moment die in den \textsc{Maxwell}-Gleichungen.
Verteilte Massen und Impulse sowie verteilte Ladungen
und Str\"ome gibt es nicht~!\\
{\footnotesize
Die Nichtexistenz verteilter Ladungen und Str\"ome
wird auch aus den in der Elektrotechnik bekannten Maschen- und
Knotens\"atzen deutlich, wenn die Maschen und Knoten sehr klein
werden. Das ist kein Widerspruch zu der Tatsache, dass in einer
Masche Strom und zwischen zwei Knoten Spannung gemessen wird.\\}
\normalsize
Unter diesen Voraussetzungen
lassen sich \textsc{Einstein}- und \textsc{Maxwell}-Gleichungen
\"uber den Energietensor des elektromagnetischen Feldes
vereinigen. Die resultierenden quellenfreien
\textsc{Einstein}-\textsc{Maxwell}-Gleichungen\footnote{zitiert
in [1]} erhalten dann rein geometrische Bedeutung~!\\
{\footnotesize
Die Quellen sind eine \"aquivalente Darstellung
von angeh\"auften Singularit\"aten aus den Integrationskonstanten.
Jedoch wird mit den Quellen der Energiesatz verletzt. - Bei
numerischen Simulationen treten keine Singularit\"aten auf,
wenn man die Existenz \emph{geometrischer Grenzen} akzeptiert.\\}

\normalsize
Die M\"oglichkeit, die materiellen Gr\"o\ss{}en als
Integrationskonstanten darzustellen, ist bekannt, wird jedoch bis jetzt
nicht akzeptiert. Warum eigentlich~? Es widerspricht der von
Ernst \textsc{Mach} begr\"undeten Vorstellung, dass ``Materie''
im Raum schwebe und (sekund\"ar) die Felder erzeuge und damit
die Struktur des Universums bestimme. Tats\"achlich wird aber
diese Art von Materie nicht gebraucht. Materie manifestiert sich
in den Integrationskonstanten. F\"ur den Preis der \emph{traditionellen}
Materie entfallen s\"amtliche physikalischen (Energiesatz~!)
\emph{und} mathematischen Schwierigkeiten.\\
Die Teilchen sind dann diskrete (elementare) L\"osungen der
quellenfreien \textsc{Einstein}-\textsc{Maxwell}-Gleichungen. Daf\"ur
gibt es bereits signifikante Hinweise aus numerischen Simulationen~! [1] -\\
{\footnotesize
Innerhalb Toleranzen von $ \pm 5 $\% f\"uhren die \"aquivalenten
Integrationskonstanten zu meist stabilen L\"osungen, wenn deren
Werte mit den gemessenen Werten von Spin, Ladung, magnetischem
Moment \"ubereinstimmen und geometrische Grenzen beim
mutma\ss{}lichen Teilchenradius auftreten. Diese vier Werte
bedingen sich gegenseitig !\\}
\normalsize
Obwohl es nur von diskreten Werten der Integrationskonstanten
L\"osungen gibt, ist eine solche L\"osung im Nahfeld vieldeutig.
Bei Atomkernen hat das Nahfeld eine Ausdehung der Gr\"o\ss{}enordnung
$ 10^{-15} $m, bei komplexeren L\"osungen (Atome, Molek\"ule \&c.)
wesentlich mehr.

In der Frage, wie sich Photonen aus den
\textsc{Einstein}-\textsc{Maxwell}-Gleichungen
ergeben, sei auf [1] verwiesen. Dort sind auch
ausf\"uhrliche Berichte und Ergebnisse aus numerischen
Simulationen zu finden.
\\

Wir haben festgestellt, dass in der geometrischen Analogie
die Gravitation zusammen mit der beschleunigten Bewegung einen
Kurvenparameter darstellt, n\"amlich den Kr\"ummungsvektor der
Kurve in der Raumzeit. Die sehr \"ahnlichen Eigenschaften des
Elektromagnetismus, vor allem die Ausbreitung im Vakuum,
zwingen zu dem Schlu\ss{}, dass es sich ebenfalls um Kurvenparameter
handelt. Das mu\ss{} so sein, weil jedes Me\ss{}ger\"at eine
solche Kurve in der Raumzeit beschreibt. Die Gesamtheit dieser
Kurven ist ausreichend, die Kr\"ummungsverh\"altnisse in der
Raumzeit umfassend zu beschreiben.

W\"ahrend Gravitation und beschleunigte Bewegung einen (die Kurve)
begleitenden Vektor bilden, l\"a\ss{}t sich Elektromagnetismus aus zwei 
begleitenden Fl\"achen darstellen, die von je zwei Vektoren aufgespannt
werden. - Der Kr\"ummungsvektor ist raumartig und unmittelbar zu
sp\"uren. Der Begriff ``unten'' meint nichts anderes als die
\emph{Richtung} des Kr\"ummungsvektors aus dem Gravitationsfeld der
Erde. Die Fl\"achen aus elektromagnetischen Feldern sind leider
nicht so direkt zu sp\"uren. An dieser Stelle kann nur gesagt werden,
dass es sich um zwei duale Fl\"achen mit ganz besonderen
Kr\"ummungseigenschaften handelt (n\"aheres s. [1]). Die quellenfreien
\textsc{Einstein}-\textsc{Maxwell}-Gleichungen involvieren eine
besondere Geometrie, die ausschlie\ss{}lich in der vierdimensionalen
Raumzeit m\"oglich ist. Es \emph{ist die} Geometrie der Raumzeit,
und diese ist einzigartig~! Die Raumzeit erlaubt keine andere
Geometrie~!\\
{\footnotesize
Die begleitenden Fl\"achen manifestieren den
Unterschied zwischen elektrischem und magnetischem Feld, weil
die eine Fl\"ache in einer Dimension zeitartig ist. Es gibt
deshalb auch keine Symmetrie zwischen Elektrizit\"at und
Magnetismus~!\\}
\normalsize
Die Einzigartigkeit der Geometrie der Raumzeit kommt auch in der
unvollst\"andigen Kausalit\"at zum Ausdruck. Die quellenfreien
\textsc{Einstein}-\textsc{Maxwell}-Gleichungen bilden f\"ur 14
Variable nur 10 unabh\"angige Gleichungen, was sehr viele Freiheitsgrade
bedeutet. In der physikalischen Wirklichkeit kommt jedoch die
besondere Rolle der Zeit zum Tragen. Da wir in der Zeit leben,
ist die Welt in erster N\"aherung kausal. (Dies l\"a\ss{}t sich
mathematisch begr\"unden.) Im Mikrobereich trifft dies nicht mehr zu~!
\\

Die Metrik ist zwar nicht das Feld selbst, jedoch l\"a\ss{}t sich leicht
einsehen, dass diese von Kr\"ummungen der Raumzeit beeinflu\ss{}t wird.
Ganz praktische Berechnungen ergeben folg. Tendenzen:\\
Gravitation \"au\ss{}ert sich \emph{f\"ur den entfernten Beobachter}
darin, dass die Uhren langsamer ticken und die Ma\ss{}st\"abe l\"anger
werden. Dagegen geht Elektromagnetismus quadratisch in die Metrik
ein. Die Uhren ticken schneller und die Ma\ss{}st\"abe werden k\"urzer,
beim elektrischen Feld in Richtung der Feldst\"arke und beim
magnetischen Feld senkrecht zur Feldst\"arke.

Die Ma\ss{}stabsverk\"urzung beim elektrischen Feld hat ganz
praktische Konsequenzen: Durch die k\"urzere Strecke wird die
Feldst\"arke gr\"o\ss{}er, damit die Strecke noch k\"urzer usf.
Das bedeutet eine R\"uckkopplung, die zu einer Nullstrecke zwischen
zwei Punkten mit endlichem Abstand im Koordinatensystem f\"uhrt.
Der unbefangene Leser mag sich fragen, wie Blitze und Tunneleffekte
mit \"Uberlichtgeschwindigkeiten zustandekommen.
\\

Numerische Simulationen f\"uhren regelm\"a\ss{}ig zu einer geometrischen
Grenze, wo es keine Zeit gibt. Innerhalb dieser Grenze gibt es
gar nichts, weder Raum noch Zeit~! Es ist deshalb m\"u\ss{}ig zu
spekulieren, was sich innerhalb eines Teilchens befinden mag.\\
\\
\\
{\footnotesize \emph{Der Autor verdankt einer Diskussionsrunde mit den
Herren Prof. Manfred Geilhaupt, Dr. Gerhard Herres und Werner Mikus
interessante Anregungen f\"ur diese Arbeit. Besonders hervorzuheben
sind wertvolle Hinweise von Herrn Mikus, welche die
Allgemeinverst\"andlichkeit betreffen.}\\}
\newpage
\textsl{Referenz~:}{}\\
\\
{}[1]~\textsc{Bruchholz}, U.~: http://bruchholz.psf.net/~.\\
\\
Weitere Referenzen in ./article2.txt\\
\"Uber die besondere Rolle der Geometrie (allgemeinverst\"andlich)
s. \mbox{./Geometrie.pdf}\\
Die geometrische Theorie als Lehrbuch s. ./Textbook.pdf\\
\"Uber numerische Simulationen ./feldber-.htm oder \mbox{./feldber.zip}\\
S.a. selfdoing.html\\
Ableitung der Photonen in ./h-article.pdf\\
Ableitung der Geometrie des Elektromagnetismus im Lehrbuch
und in \mbox{./Ricci\_Main\_Dir.txt}\\
\\
\\
\\
\\
{}\footnotesize Dieses Dokument wurde mit \LaTeX{} erstellt.
\end{document}